Volkswagen e a vantagem progressiva

Muito recentemente, a Volkswagen anunciou uma promoção onde quanto maior o valor do veículo - ou mais opcionais incluídos - maior o desconto obtido. Se você ainda não viu, veja:

Não querendo fazer um merchan gratuito pra Volks, mas já fazendo, tive a seguinte dúvida: Qual deve ser o valor do carro para que ele saia de graça? Gastando meus muito neurônios, cheguei a conclusão: depende.

Vamos analisar este problema com bastante calma. Temos apenas os pares preço x desconto do Gol, e são eles que vamos usar para resolver nosso problema, e quem sabe, encontrar o desconto "teórico" que incide sobre a SpaceFox. Para isto, vamos usar uma técnica que nós, punheteiros matemáticos, chamamos de interpolação.

Por simplicidade, esta técnica consiste em "unir" certos pontos por uma curva dada por uma função. Mas onde raios estão os pontos? E que pontos? Vamos chamar a dimensão preço de x e desconto de y. Isto basta, por enquanto. Baseando-se nos dados do vídeo, podemos construir a tabela:

Daqui pra frente, vou dividir todos os números por 1000. Agora que temos os pontos, vamos desenhá-los no plano cartesiano, em uma escala que deixa o desenho mais simpático:

Com dois pontos, a pergunta mais natural que surge é: o que fazer? Nada seria a resposta mais natural, mas esta não nos ajuda muito. Uma reta seria a resposta mais intuitiva, já que todos sabem que dois pontos determinam unicamente uma reta. Mas precisamos de uma função. Que função nos dá uma reta no plano cartesiano?

Exatamente, f(x) = ax + b, a função afim. Como encontrar a e b que fazem com que a tal reta passe pelos pontos que nós temos? É aí que a surge a grande sacada da interpolação linear. Maaaas, nós realmente precisamos disso?

Vamos fazer um pequeno exercício geométrico. Vamos unir os pontos com uma régua, e traçar a reta que os liga, que é o gráfico da f(x) que queremos. Vamos traçar também a reta de g(x) = x (que chamamos, também por simplicidade, de função identidade). Por que? Esta função sempre dá o valor do carro, e, para nossos propósitos, sempre irá representá-lo. O desenho, em escala 1:1, fica assim:

Vendo a ilustração acima, podemos deduzir facilmente - que é uma palavra que matemáticos preguiçosos adoram usar - que se calcularmos g(x) - f(x), obtemos o valor do carro com o desconto. Mas isso é sinônimo de PROBLEM!!!! Se você apresentar isso numa loja da Volks, você terá problemas sérios:

• Se você entrar na loja e não comprar nenhum carro, supondo que os descontos oferecidos são apenas para carros novos, algum vendedor poderá argumentar que, sendo seu gasto entre 0 e algo entre 10 mil e 20 mil, o desconto é negativo, e, sendo assim, você entra na loja e sai devendo algo perto de 2 mil reais.
• Se você quer realmente adquirir um carro de graça, isto seria impossível, a menos que você possa gastar uma quantidade negativa de dinheiro. Como a inclinação da reta do valor do carro é "maior" que a inclinação do desconto, e as retas se cruzam num valor de gasto negativo, as retas nunca irão se encontrar na parte de gasto positivo. Isto é, g(x) - f(x) nunca será zero para um valor positivo de x.

Pow manol0 essa merda de interpolação não serve pra nada!!! é o que você provavelmente está pensando, ou não. BUT vamos resolver os dois problemas que surgiram acima com uma tacada só: incluindo o famigerado ponto (0, 0) e fazendo a chamada interpolação quadrática, que consiste em encontrar uma parábola de função f(x) = ax² + bx + c cujo gráfico bata exatamente nos pontos que temos e o ponto (0,0). Por que o ponto (0,0)? Simples: Não gasto nada, não tenho desconto nenhum. 0-0=0. Nossa tabela de dados agora é assim:

Agora, iremos ajustar uma curva a três pontos. Como temos que encontrar o valor de três coeficientes, você já deve imaginar que... vamos resolver um sistema de três equações e três incógnitas!!! êÊêÊêÊê!!! Como?

Observe que sabemos três coisas de nossa parábola: f(0) = 0, f(30.380) = 1.990 e f(37.470) = 3.080. Se substituirmos esses três pares de x e seus respectivos valores y = f(x) e substituir em f(x) = ax² + bx + c, vamos cair nas equações:

• 30.380²a + 30.380b + c = 1.990
• 37.470²a + 37.470b + c = 3.080
• c = 0

Olha que beleza: c = 0. Agora é só resolver um sisteminha linear de duas equações e duas incógnitas em a e b. E que eu não vou dar a resposta aqui resolvi no excel. Confie em mim, resolva e verifique que o gráfico da parábola obtida realmente passa pelos três pontos da tabela. Veja o gráfico:

E agora, diminuindo o zoom várias vezes, podemos ver que finalmente, temos um carro que sai de graça!!!

O nosso carro "equipado com teletransporte e campo de força" deve custar um pouco mais de 400 mil reais para que ele saia de graça. Mas alguns sujeitos ainda mais rigorrosas podem encontrar um pequeno (pequeno mesmo) empecilho e reviver o nosso problema anterior do desconto negativo. E isto eu já adianto com a figura a seguir, dando um mega-zoom próximo da origem e mudando a escala para 100:1.

Sim, amigos. As duas curvas acima são as mesmas. Até a nossa g(x)=x está traçada no nosso desenho com escala absurdamente aumentada, mas como disse antes, o desconto negativo é tão pequeno comparado ao valor do gasto que é razoável desconsiderar isto caso você queira apresentar este modelo a um vendedor da Volks. Por uma peça que custa entre 1 mil e 2 mil reais, o aumento no preço não passa de 5 mangos. Mas fique calmo, pois se ainda estiver descontente com isso, ainda tenho uma carta na manga, que fará com que se sinta profissional ao falar com algum cara da Volks ao apresentar nossa "proposta" de vantagem progressiva.

Vamos tentar usar a função f(x) = ax exp(bx).

HEIN??? MAS COMO??? isso nem vai cair num sistema linear man0lo!1 mas não cai mesmo se formos aplicar diretamente a fórmula acima aos pontos que queremos. E agora, não precisamos nos preocupar em incluir o ponto (0,0), porque f(x) = 0 pra qualquer a ou b que se queira. E também, se a for positivo, vamos ter que f(x) também será positivo para x maior que zero (não estou fazendo merchan da Positivo, juro), já que exp(qualquer coisa) é positivo.

Sabendo que f(x) = y, e aplicando nosso querido amigo logaritmo natural dos dois lados, obtemos ln(y)=ln(a)+ln(x)+ln(exp(bx)), ou ainda, que ln(y/x)=ln(a)+bx. Só lembrar das propriedades do logaritmo que dá pra chegar nisso. Vamos chamar ln(a) de c e vamos complementar a nossa tabela com os dados de ln(y/x):

E agora, substituindo cada respectivo valor na fórmula c + bx = ln(y/x), obtemos as equações:

• c + 30.380b = -2.72565
• c + 37.470b = -2.49861

Resolver este sistema não é grande problema se você conseguiu me acompanhar até aqui. Com os valores de b e c em mãos, podemos construir nossa função f(x) = ax exp(bx), lembrando que c=ln(a), e, a=exp(c). Podemos também construir o gráfico dela:

Eliminamos o problema do desconto negativo e, WOW, diminuimos o valor do carro para que ele saia de graça! Agora, basta que ele custe uns 115 mil reais pra que a Volks seja obrigada a dar o carro de presente!

Eu andando numa Volkswagen.

Ei mano11, e o desconto da Space, tu num vai falá não? Claro que não. Agora que eu já dei todos os truques e já estou andando numa Volks maravilhosa, porque EU vou me preocupar com um descontinho numa Space?